Электрические цепи для чайников: определения, элементы, обозначения. Линейные электрические цепи постоянного тока Какие электрические цепи называют линейными

Ветвь и узел электрической цепи

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. В зависимости от особенностей схемы следует применять тот или иной способ расчета электрической цепи. В данном разделе рассмотрим ключевые понятия, которые в дальнейшем будут необходимы для выбора наиболее оптимального и правильного приема решения задач.

Ветвью называется участок электрической цепи, обтекаемый одним и тем же током. Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными элементами цепи.

Узел - место соединения трех и более ветвей.

В качестве примера на рисунке изображены схемы двух электрических цепей. Первая из них содержит 6 ветвей и 4 узла. Вторая состоит из 5 ветвей и 3 узлов. В этой схеме обратите внимание на нижний узел. Очень часто допускают ошибку, считая что там 2 узла электрической цепи, мотивируя это наличием на схеме цепи в нижней части 2-х точек соединения проводников. Однако на практике следует считать две и более точки, соединенных между собой проводником, как один узел электрической цепи.

При обходе по соединенным в ветвях цепям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел встречается в данном контуре не более одного раза. Ниже приведена электрическая схема, на которой отмечено несколько произвольно выбранных контуров.

Всего для данной цепи можно выделить 6 замкнутых контуров.

Закон Ома

Данный закон очень удобно применять для ветви электрической цепи. Позволяет определить ток ветви при известном напряжении между узлами, к которым данная ветвь подключена. Также позволяет буквально в одно действие рассчитать одноконтурную электрическую цепь.

При применении закона Ома предварительно следует выбрать направление тока в ветви. Выбор направления можно осуществить произвольно. Если при расчете будет получено отрицательное значение, то это значит, что реальное направление тока противоположно выбранному.


Для ветви, состоящей только из резисторов и подключенной к узлам электрической цепиa и b (см. рис.) закон Ома имеет вид:


Соотношение (1.15) написано в предположении, что выбрано направление тока в ветви от узла a к узлу b . Если мы выберем обратное направление, то числитель будет иметь вид: (U b -U a). Теперь становится понятно, что если в соотношении (1.15) возникнет ситуация, когда U b >U a то получим отрицательное значение тока ветви. Как уже упоминалось выше, это значит, что реальное направление тока противоположно выбранному. Примером практического применения данного частного случая закона Ома при расчетах электрических цепей является соотношение (1.18) для электрической цепи, изображенной на рисунке.

Для ветви содержащей резисторы и источники электрической энергии закон Ома принимает следующий вид:


Соотношение (1.16) написано в предположении, что предварительно выбрано напавление тока от узла a к узлу b . При расчете алгебраической суммы ЭДС ветви следует знак "+" присваивать тем ЭДС, чье направление совпадает с направлением выбранного тока ветви (направление ЭДС определяется направлением стрелки в обозначении источника электрической энергии). Если направления не совпадают, то ЭДС берется со знаком "-". На рисунке есть примеры применения данного варианта закона Ома - соотношения (1.17) и (1.19)

Линейные и нелинейные электрические цепи

Линейной электрической цепью называют такую цепь, все компоненты которой линейны. К линейным компонентам относятся зависимые и независимые идеализированные источники токов и напряжений, резисторы(подчиняющиеся закону Ома), и любые другие компоненты, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, наиболее известны электрические конденсаторы и катушки индуктивности. Если цепь содержит отличные от перечисленных компоненты, то она называется нелинейной.

Изображение электрической цепи с помощью условных обозначений называют электрической схемой. Функция зависимости тока, протекающего по двухполюсному компоненту, от напряжения на этом компоненте называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ). Часто ВАХ изображают графически в декартовых координатах. При этом по оси абсцисс на графике обычно откладывают напряжение, а по оси ординат - ток.

В частности, омические резисторы, ВАХ которых описывается линейной функцией и на графике ВАХ являются прямыми линиями, называют линейными.

Примерами линейных (как правило, в очень хорошем приближении) цепей являются цепи, содержащие толькорезисторы, конденсаторы и катушки индуктивности без ферромагнитных сердечников.

Некоторые нелинейные цепи можно приближенно описывать как линейные, если изменение приращений токов или напряжений на компоненте мало, при этом нелинейная ВАХ такого компонента заменяется линейной (касательной к ВАХ в рабочей точке). Этот подход называют «линеаризацией». При этом к цепи может быть применён мощный математический аппарат анализа линейных цепей. Примерами таких нелинейных цепей, анализируемых как линейные относятся практически любые электронные устройства, работающие в линейном режиме и содержащие нелинейные активные и пассивные компоненты (усилители, генераторы и др.).

электрическая цепь – это отдельно взятая группа электроприборов (утюги, блоки телевизоры, холодильники и т. д.) совместно с розетками, выключателями, проводами, автоматами и электрической подстанцией (как же без нее получить ток) на данный момент работающих совместно для достижения определенной цели. Ну а вот в зависимости от цели (просмотра любимой передачи, сохранения свежести продуктов или обеспечения стабильности питающих параметров в блоке питания компьютера) электрические цепи подразделяются на простые и сложные, неразветвленные и разветвленные, линейные и нелинейные.

То есть электрическую цепь можно рассматривать как совокупность отдельных электрических устройств, так и совокупность дискретных простейших деталей и связей между ними образующих один из функциональных блоков в электрической схеме какого-то устройства.

Неразветвленные электрические цепи – они же простые – это цепи в которых ток течет не меняя свое значение и по простейшему пути от источника энергии до потребителя. То есть через все элементы этой цепи течет один и тот же ток. Простейшей неразветвленной цепью можно считать цепь освещения одной из комнат в квартире, где используется однорожковая люстра. В данном случае ток течет от источника энергии через автомат, выключатель, лампочку и обратно к источнику энергии.

Разветвленные – это цепи имеющие одно или более ответвленных путей протекания тока. То есть ток начиная свой путь от источника энергии разветвляется на несколько ветвей потребителей, при этом меняя свое значение. Одним из несложных примеров такой цепи является приведенная выше цепь освещения комнаты в квартире, но только с многорожковой люстрой и многоклавишным выключателем. Ток от источника энергии доходит через автомат к многоклавишному выключателю, а дальше разветвляется на несколько ламп люстры, а далее через общий провод обратно к источнику энергии.

Линейной считается такая электрическая цепь, где характеристики всех ее элементов не зависят от величины и характера протекающего тока и приложенного напряжения.

Нелинейной считается цепь содержащая хотя бы один элемент, характеристики которого зависят от протекающего тока и приложенного напряжения.

2. Эквивалентные преобразования в электрических цепях. Определение эквивалентного сопротивления при последовательном, параллельном и смешанном соединении элементов электрических цепей.

При решении задач принято преобразовывать схему, так, чтобы она была как можно проще. Для этого применяют эквивалентные преобразования. Эквивалентными называют такие преобразования части схемы электрической цепи, при которых токи и напряжения в не преобразованной её части остаются неизменными.

Существует четыре основных вида соединения проводников: последовательное, параллельное, смешанное и мостовое.

Последовательное соединение – это такое соединение, при котором сила тока на всем участке цепи одинакова. Ярким примером последовательного соединения является старая елочная гирлянда. Там лампочки подключены последовательно, друг за другом. Теперь представьте, одна лампочка перегорает, цепь нарушена и остальные лампочки гаснут. Выход из строя одного элемента, ведет за собой отключение всех остальных, это является существенным недостатком последовательного соединения.

При последовательном соединении сопротивления элементов суммируются.

Параллельное соединение – это соединение, при котором напряжение на концах участка цепи одинаково. Параллельное соединение наиболее распространено, в основном потому, что все элементы находятся под одним напряжением, сила тока распределена по-разному и при выходе одного из элементов все остальные продолжают свою работу.

При параллельном соединении эквивалентное сопротивление находится как:

В случае двух параллельно соединенных резисторов

В случае трех параллельно подключенных резисторов:

Смешанное соединение – соединение, которое является совокупностью последовательных и параллельных соединений. Для нахождения эквивалентного сопротивления нужно, “свернуть” схему поочередным преобразованием параллельных и последовательных участков цепи.

Сначала найдем эквивалентное сопротивление для параллельного участка цепи, а затем прибавим к нему оставшееся сопротивление R 3 . Следует понимать, что после преобразования эквивалентное сопротивление R 1 R 2 и резистор R 3 , соединены последовательно.

Итак, остается самое интересное и самое сложное соединение проводников.

Мостовая схема соединения представлена на рисунке ниже.

Для того чтобы свернуть мостовую схему, один из треугольников моста, заменяют эквивалентной звездой.

И находят сопротивления R 1 , R 2 и R 3 .

Затем находят общее эквивалентное сопротивление, учитывая, что резисторы R 3 ,R 4 и R 5 ,R 2 соединены между друг другом последовательно, а в парах параллельно.

Те элементы электрической цепи, для которых зависимость тока от напряжения I(U) или напряжения от тока U(I), а также сопротивление R, постоянны, называются линейными элементами электрической цепи. Соответственно и цепь, состоящая из таких элементов, именуется линейной электрической цепью.

Для линейных элементов характерна линейная симметричная вольт-амперная характеристика (ВАХ), выглядящая как прямая линия, проходящая через начало координат под определенным углом к координатным осям. Это свидетельствует о том, что для линейных элементов и для линейных электрических цепей строго выполняется.

Кроме того речь может идти не только об элементах, обладающих чисто активными сопротивлениями R, но и о линейных индуктивностях L и емкостях C, где постоянными будут зависимость магнитного потока от тока - Ф(I) и зависимость заряда конденсатора от напряжения между его обкладками - q(U).

Яркий пример линейного элемента - . Ток через такой резистор в определенном диапазоне рабочих напряжений линейно зависит от величины сопротивления и от приложенного к резистору напряжения.

Нелинейные элементы

Если же для элемента электрической цепи зависимость тока от напряжения или напряжения от тока, а также сопротивление R, непостоянны, то есть изменяются в зависимости от тока или от приложенного напряжения, то такие элементы называются нелинейными, и соответственно электрическая цепь, содержащая минимум один нелинейный элемент, окажется .

Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента уже не является прямой линией на графике, она непрямолинейна и часто несимметрична, как например у полупроводникового диода. Для нелинейных элементов электрической цепи закон Ома не выполняется.

В данном контексте речь может идти не только о лампе накаливания или о полупроводниковом приборе, но и о нелинейных индуктивностях и емкостях, у которых магнитный поток Ф и заряд q нелинейно связаны с током катушки или с напряжением между обкладками конденсатора. Поэтому для них вебер-амперные характеристики и кулон-вольтные характеристики будут нелинейными, они задаются таблицами, графиками или аналитическими функциями.

Пример нелинейного элемента - лампа накаливания. С ростом тока через нить накаливания лампы, ее температура увеличивается и сопротивление возрастает, а значит оно непостоянно, и следовательно данный элемент электрической цепи нелинеен.

Для нелинейных элементов свойственно определенное статическое сопротивление в каждой точке их ВАХ, то есть каждому отношению напряжения к току, в каждой точке на графике, - ставится в соответствие определенное значение сопротивления. Оно может быть посчитано как тангенс угла альфа наклона графика к горизонтальной оси I, как если бы эта точка лежала на линейном графике.

Еще у нелинейных элементов есть так называемое дифференциальное сопротивление, которое выражается как отношение бесконечно малого приращения напряжения - к соответствующему изменению тока. Данное сопротивление можно посчитать как тангенс угла между касательной к ВАХ в данной точке и горизонтальной осью.

Такой подход делает возможным простейший анализ и расчет простых нелинейных цепей.

На рисунке выше показана ВАХ типичного . Она располагается в первом и в третьем квадрантах координатной плоскости, это говорит нам о том, что при положительном или отрицательном приложенном к p-n-переходу диода напряжении (в том или ином направлении) будет иметь место прямое либо обратное смещение p-n-перехода диода. С ростом напряжения на диоде в любом из направлений ток сначала слабо увеличивается, а после резко возрастает. По этой причине диод относится к неуправляемым нелинейным двухполюсникам.

На этом рисунке показано семейство типичных ВАХ в разных условиях освещенности. Основной режимом работы фотодиода - режим обратного смещения, когда при постоянном световом потоке Ф ток практически неизменен в довольно широком диапазоне рабочих напряжений. В данных условиях модуляция освещающего фотодиод светового потока, приведет к одновременной модуляции тока через фотодиод. Таким образом, фотодиод - это управляемый нелинейный двухполюсник.

Это ВАХ , здесь видна ее явная зависимость от величины тока управляющего электрода. В первом квадранте - рабочий участок тиристора. В третьем квадранте начало ВАХ - малый ток и большое приложенное напряжение (в запертом состоянии сопротивление тиристора очень велико). В первом квадранте ток велик, падение напряжения мало - тиристор в данный момент открыт.

Момент перехода из закрытого - в открытое состояние наступает тогда, когда на управляющий электрод подан определенный ток. Переключение из открытого состояния - в закрытое происходит при снижении тока через тиристор. Таким образом, тиристор - это управляемый нелинейный трехполюсник (как и транзистор, у которого ток коллектора зависит от тока базы).

Введение

Электрическая цепь – это совокупность соединён-ных друг с другом источников энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток.

Изображение электрической цепи называется схемой замещения электрической цепи или просто электрической схемой .

Рассмотрим характерные участки цепи:

- Ветвь – участок электрической цепи, в котором ток имеет одно и то же значение. Элементы ветви соединены между собой последовательно;

- Узел – место соединения трёх или более ветвей;

Место соединения ветвей обозначается точкой (обязательно – если ветви пересекаются).

- Контур – любой замкнутый путь в цепи.

Например, в схеме на рисунке 1.1, пять ветвей, три узла, шесть контуров. Убедитесь в этом самостоятельно, проверьте себя.

Соединение сопротивлений

Во многих случаях расчёт электрической цепи можно упростить, путём преобразования её из сложного вида в более простой. При этом уменьшается число узлов, ветвей либо и то и другое.

Необходимое условие преобразования: токи и напряжения в остальных частях схемы, не подвергающих-ся преобразованию, не изменяются. Такое преобразование называется эквивалентным .

а) Последовательное соединение сопротивлений

Последовательное соединение – это такое, при ко-тором во всех элементах цепи течёт одинаковый ток. Элементы ветви соединены последовательно (рис. 1.6).

Такую ветвь можно заменить одним резистором с сопротивлением R экв, равным сумме сопротивлений всех резисторов.

R экв = = R 1 +R 2 +R 3 +…+R n

Эквивалентное сопротивление при таком соедине-нии всегда больше сопротивления любого из элементов. Если все сопротивления равны

R 1 = R 2 = R 3 =…= R, то R экв = nR

Для проводимостей G формула будет выглядеть так:

Напряжение на зажимах ab равно сумме напряжений на каждом элементе ветви.

б) Параллельное соединение сопротивлений

Параллельное соединение сопротивлений – это такое соединение, при котором ко всем элементам цепи приложено одинаковое напряжение.

Параллельно соединены элементы между двумя узлами (рисунок 1.7).

Ток I в неразветвлённой части равен сумме токов в каждом элементе.

I = I 1 = I 2 + I 3 +…+ I n

Эквивалентная проводимость в этом случае равна сумме проводимостей всех элементов:

G экв = = G 1 + G 2 + G 3 +…+ G n

Для сопротивлений R формула будет выглядеть так:

Как видите, формулы симметричны: при последова-тельном соединении складываются сопротивления, а при параллельном – проводимости.

Эквивалентное сопротивление при таком соедине-нии всегда меньше сопротивления любого из элементов.

Если все сопротивления равны R 1 = R 2 = R 3 =…= R, то

Ток в любой ветви пропорционален проводимости этой ветви.

в) Смешанное соединение сопротивлений

Смешанное соединение сопротивлений – это такое соединение, которое можно представить в виде параллельного и последовательного.

На первый взгляд кажется, что любую схему соединения элементов можно представить в виде смешанного соединения и найти эквивалентное сопротивление путём преобразования параллельных и последовательных участков. Однако бывают случаи, когда соединение элементов не является смешанным. Примером такого случая может служить распространённая в электронике мостовая схема , показанная на рисунке 1.8.

Как найти сопротивление между точками a и d? После нескольких попыток упростить схему, легко убе-диться, что здесь нет участков ни с последовательным, ни с параллельным соединением. Для этого нужно приме-нить преобразование, описанное в следующем параграфе.

г) Преобразование «Звезда-треугольник»

Существует возможность эквивалентного преобра-зования треугольника сопротивлений, показанного на ри-сунке 1.9, в трёхлучевую звезду (рисунок 1.10).

При преобразовании одной схемы в другую, напря-жения и токи, как при любом эквивалентном преобразова-нии, не изменяются.

Формулы для преобразования из треугольника в звезду:

Формулы для преобразования из звезды в треугольник:

R ab = R a + R b + R a R b /R с

R ac = R a + R c + R a R c /R b

R bc = R c + R b + R c R b /R a

Если все сопротивления равны, то легко убедиться, что сопротивления в треугольнике в три раза больше, чем в звезде.

Теперь вернёмся к мостовой схеме на рисунке 8. Можно преобразовать в ней треугольник abc в звезду. Получим схему на рисунке 1.11.

В этой схеме сопротивления треугольника R 1 , R 2 , R 3 преобразованы в звезду R a , R b , R c .

Теперь не вызывает затруднения найти сопротивле-ние R ad . Для этого нужно найти последовательные соеди-нения Rb-R4 и Rc-R5, затем параллельное соединение двух получившихся и затем - последовательное соедине-ние с R a .

Также и в других подобных случаях преобразование «звезда-треугольник» может быть незаменимым.

Идеальный источник тока

Свойства идеального источника тока:

1) Внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно: r = ∞;

2) Ток через идеальный источник тока всегда равен J и не зависит от сопротивления нагрузки R;

4) Для идеального источника тока невозможен режим холостого хода (т. к. при r = ∞, U= Jr = ∞);

5) Идеальный источник тока невозможно преобразо-вать в идеальный источник ЭДС.

Идеальных источников тока и напряжения не существует, однако, во многих случаях, источник энергии можно считать идеальным. При r « R можно считать источник идеальным источником ЭДС, а при r » R – идеальным источником тока.

Соединение источников ЭДС

Несколько последовательно соединённых источников ЭДС можно заменить одним эквивалентным источником, как показано на рисунке 1.14.

Внутреннее сопротивление эквивалентного источ-ника R экв, как обычно при последовательном соединении, равно сумме внутренних сопротивлений всех источников.

R экв = R 1 + R 2 + R 3

Напряжение эквивалентного источника ЭДС равно алгебраической сумме источников. При совпадении направлений – знак «+», в противном случае – знак «-». В данном случае:

Е экв = Е 1 - Е 2 + Е 3

В случае идеальных источников ЭДС, очевидно, все сопротивления равны нулю и R экв = 0.

Параллельное соединение идеальных источников ЭДС невозможно по определению. В случае реальных ис-точников аналогично: несколько параллельно соединён-ных источников ЭДС можно заменить одним эквива-лентным источником, как показано на рисунке 1.15.

Внутреннее сопротивление эквивалентного источ-ника R экв, определяется как обычно при параллельном соединении. Эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей всех источников.

G экв = = G 1 + G 2 + G 3 , R экв = 1/ G экв

Эквивалентная ЭДС определяется по следующей формуле (в математике обычно используется термин «средневзвешенное значение»):

Глава 3 Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются фундаментальными в электротехнике и позволяют применять их в любой схеме – для постоянного или переменного тока. Законы эти непосредственно следуют из закона сохранения энергии.

Первый закон Кирхгофа (закон для узлов)

В узле электрической цепи арифметическая сумма токов равна нулю .

При этом втекающие токи считаются с одним знаком, а вытекающие – с другим.

Часто закон формулируется так: в узле сумма втекающих токов равна сумме вытекающих .

Например, - на рисунке 1.19:

I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 0

(cчитаем положительным направление от узла)

I 1 + I 3 + I 4 = I 2

Напоминание – каждый ток может быть положи-тельным или отрицательным. Если все токи втекают, значит, какие-то из них отрицательны.

Интересно, что этот закон может быть применён не только для узла, как обычно принято, но и для плоскости и даже в пространстве.

Например, если схему пересечь линией, то сумма токов с одной стороны равна сумме токов с другой стороны. Таким же образом можно пересечь плоскостью 3-мерную схему – закон действует и тут.

Второй закон Кирхгофа (закон для контуров)

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений.

Рассмотрим пример, поясняющий этот закон, для контура на рисунке 1.20.

Выберем произвольно направления токов.

Выбираем направление обхода контура, например, - по часовой стрелке.

Если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, - то ЭДС записывается со знаком «+», если же противоположно – со знаком «-».

Аналогично: если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения IR берётся со знаком «плюс», если противоположно – со знаком «минус».

Таким образом, для данного примера:

Е 1 - Е 2 = I 1 R 1 + I 3 R 3 - I 4 R 4 - I 2 R 2

Законов Кирхгофа

Как было сказано, при помощи законов Кирхгофа можно рассчитать любую цепь, никаких ограничений на законы Кирхгофа нет, они действуют во всех случаях без исключения.

Рассмотрим пример (рисунок 1.21) – определить все токи в схеме при известных сопротивлениях и параметрах источников энергии. Схема достаточно сложна, чтобы рассчитывать её, к примеру, методом наложения.

Задача решается путём составления системы линей-ных уравнений по законам Кирхгофа и её решения.

Так как в схеме неизвестных семь токов, т. е. семь неизвестных (ток источника J задан), то необходимо составить семь уравнений. Причём, уравнения должны быть независимы, что известно из курса математики.

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. В схеме пять узлов, следовательно, можно составить пять уравнений.

I 1 - I 2 - I 6 = 0

I 1 + I 3 + I 4 = 0

I 2 - I 3 + I 5 = 0

I 4 + I 7 + J = 0

I 5 - I 6 + I 7 + J = 0

Однако, одно из уравнений не является независи-мым и может быть получено линейной комбинацией других. Таким образом, по первому закону Кирхгофа можно составить четыре уравнения.

В общем случае: если число узлов равно q, то по первому закону Кирхгофа можно составить (q-1) уравнения.

В данном случае можно исключить любое уравне-ние по своему усмотрению. Например, последнее уравне-ние содержит 4 переменные и является более сложным.

Остальные три уравнения нужно составить по второму закону Кирхгофа.

Данная схема имеет 12 контуров (убедитесь в этом). Из составленных 12 уравнений только три будут незави-симыми. Какие уравнения выбрать? Следует использо-вать такие правила:

Для ветвей, содержащих источники тока, уравнения не составляются (таким образом, для составления уравнений осталось 7 контуров);

В независимые контура должны войти все ветви схемы;

В каждый новый контур (в каждое новое уравнение) должна войти хотя бы одна новая ветвь;

Первое время это кажется не совсем понятным, но на практике контура обычно выбираются в виде «ячеек», т. е. контуров, не содержащих внутри себя ветвей. На рисунке 21 они показаны числами 1, 2, 3.

Выбираем произвольно направления обхода каждого контура (в данном примере – все против часовой стрелки) и записываем уравнения.

Е 1 + Е 3 = I 1 R 1 + I 2 R 2 + I 3 R 3

Е 4 = -I 3 R 3 + I 4 R 4 - I 5 R 5 + I 7 R 7

Е 2 - Е 3 = - I 2 R 2 + I 5 R 5 + I 6 R 6

Таким образом, получаем систему из 7 уравнений:

При правильном составлении уравнений, в любом случае число независимых уравнений будет равно числу неизвестных токов, точнее: числу неизвестных величин, т. к., в принципе, в задании могут быть неизвестными другие величины – сопротивления или напряжения.

Метод двух узлов

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений. Как очевидно из названия, он используется в схемах, имеющих только два узла – тогда этот метод будет оптимальным. В этом случае составляется только одно уравнение. Для примера рассмотрим схему на рисунке 1.24.

Считаем нулевым потенциал узла 0. В данном случае никаких общих проводимостей нет, есть только собственная проводимость и узловой ток узла 1.

G 11 = G 1 + G 2 + G 3 + G 4

J 11 = - E 1 G 1 + J + E 2 G 4

Уравнение: U 1 G 11 = J 11

Затем определяем токи в ветвях. Подсчитайте для сравнения: сколько уравнений будет в системе при расчёте схемы методом контурных токов.

Двухполюсники

Двухполюсник – обобщённое название любой схемы, рассматриваемой относительно двух выводов (полюсов) (рисунок 1.25).

Если двухполюсник содержит внутри источники энергии, то он называется активным , если не содержит – пассивным .

Типичными активными двухполюсниками являются реальные источники ЭДС и тока.

Теорема об активном двухполюснике .

Активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником ЭДС (эквивалентным генератором), ЭДС которого равна напряжению холостого хода на выходе двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника (рисунок 26).

I кз = E/r = U хх /R вх

Входное сопротивление R вх – внутреннее сопротивление 2-полюсника между полюсами. При этом нужно учитывать внутренние сопротивления источников энергии.

Обычно в литературе используется термин «эквивалентный генератор », что не вполне точно, т. к. под генератором понимается только источник ЭДС, но не источник тока. Поэтому в данном пособии используется название «эквивалентный источник ».

Глава 1 Основные понятия переменного тока

Переменный ток – это ток, изменяющийся во вре-мени. Практически в технике используются периодиче-ские напряжения и токи.

Рассмотрим основные параметры периодических токов и напряжений, которые присущи всем периодиче-ским процессам.

- Мгновенное значение – значение напряжения u(t) и тока i(t) в данный момент времени;

- Период – наименьший промежуток времени T , по истечении которого функция тока или напряжения повторяет своё мгновенное значение;

- Частота – величина обратная периоду. В физике обычно обозначается буквой ν, в технике – буквой f;

Частота измеряется в Герцах – 1 Гц = 1/с = с -1

- Угловая частота (или циклическая частота ) ω – показывает какой угол (в радианах) проходится в секунду;

По аналогии с движением по окружности период составляет 360 0 или 2π радиан. Таким образом, ω показывает, какая часть периода проходится в секунду.

ω = 2πf = 2π/Т

ω измеряется в рад/с или с -1 (но не в Герцах!)

Перечисленные основополагающие величины хорошо известны из физики средней школы. Рассмотрим некоторые новые параметры, часто используемые в электротехнике.

- Среднее значение за период (постоянная составляющая ) – определяется следующим образом:

Пример показан на рисунке 2.1

Для периодической функции, симметричной относи-тельно оси времени, U 0 = 0.

- Действующее значение тока (напряжения) – численно равно значению постоянного тока (напряжения), которое в сопротивлении за период Т выделяет столько же тепла, сколько при тех же условиях выделяет переменный ток (напряжение). Называется также среднеквадратичным значением и обозначается, как и постоянный ток – без индекса: U или I.

В ряде случаев не важны форма напряжения, период, частота и др. параметры, а важна лишь энергия или мощность, которая выделяется в нагрузке.

Действующее значение является одним из основных параметров переменного тока.

Наиболее распространённым видом переменного тока по многим причинам является синусоидальный ток .

Рассмотрим его параметры.

- Мгновенное значение :

u(t) = U m sin (ωt+ψ u)

i(t) = I m sin (ωt+ψ i)

- Амплитуда U m (I m)– максимальное значение;

ω – угловая частота ;

- Фаза (или полная фаза ): ψ(t) = ωt + ψ – угол в радианах, соответствующий моменту времени t;

- Начальная фаза - ψ u (ψ i) – угол в радианах в начальный момент времени при t = 0;

Синус и косинус – напоминаем – отличаются только начальной фазой, Синусоидальный ток с тем же успехом можно называть косинусоидальным.

- Действующее значение U (I);

Выведем формулу.

Найдём интеграл:

Второй интеграл равен нулю, так как косинус – чётная функция на периоде Т.

Таким образом:

Аналогично:

Часто студенты ошибаются, говоря, что действующее значение всегда в √2 раз меньше амплитудного. Запомните – это справедливо только для синусоидального тока !

- Средневыпрямленное значение U ср.

Среднее значение функции, симметричной относительно оси t, равно нулю. Поэтому для синусоидального тока используют параметр средневыпрямленное значение (среднее за полпериода).

Для синусоидального тока U ср = 2U m /π ≈ 0,637 U m

Векторов

Действия с синусоидальными величинами, очевид-но, намного сложнее, чем с постоянными. Для переменно-го тока используют свои специальные методы расчёта. Рассмотренные ниже методы расчёта предполагают, что все токи и напряжения имеют одну и ту же частоту ω. При различных частотах разных источников энергии эти методы работать не будут.

Одним из методов является представление токов и напряжений в виде векторов.

Пусть имеется ток - i(t) = I m sin (ωt+ψ i)

Представим его в виде радиус-вектора (рисунок 2.2)

Длина вектора равна амплитудному или действую-щеему значению I. Угол, образуемый вектором с осью t, равен начальной фазе ψ i . Угол отсчитывается как обычно в тригонометрии: от оси абсцисс против часовой стрелки. В данном примере ψ i > 0.

Вектор вращается против часовой стрелки с угловой частотой ω.

Как известно, синус – проекция вращения вектора единичной длины на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Аналогично: мгновенное значение i(t) - проекция вращения вектора длиной I на ось ординат при вращении его против часовой стрелки с частотой ω.

Таким же образом можно представить несколько токов или напряжений. Суммой их будет вектор, равный сумме векторов (рисунок 2.3).

Пусть имеются два тока:

i 1 (t) = I m1 sin (ωt+ψ 1)

i 2 (t) = I m2 sin (ωt+ψ 2)

Суммой их является вектор I (рисунок 2.3)

i(t) = I m sin (ωt+ψ)

Действуют все математические правила действий с векторами. Все вектора вращаются против часовой стрелки с частотой ω, взаимное их расположение при этом не меняется.

Если нет необходимости определять мгновенные значения, то один из векторов можно направить произвольно, главным является взаимное расположение векторов, сдвиг фаз между ними.

То же самое действует и в отношении напряжений. Также можно использовать амплитудные или действую-щие значения.

Комплексные числа.

Символический метод расчёта

Другим методом расчёта является символический метод – представление векторов в виде комплексных чисел.

Комплексное число (назовём здесь его Z) имеет действительную и мнимую части. Назовём их R и X. Запись числа в алгебраической форме:

Z = R+jX ,

Где j = √-1– «мнимая единица». j 2 = -1. В математике также обозначается не j, а буквой i.

Комплексное число может быть представлено векто-ром (или точкой) на комплексной плоскости, где по оси ординат откладывается действительная часть, а по оси абсцисс – мнимая часть (рисунок 2.4).

Именно так в дальнейшем будут обозначаться сопротивления:

R – активное сопротивление;

X – реактивное сопротивление;

Существует также показательная форма записи комплексных чисел:

Z = ‌‌Ze jφ ‌

Перевод из одной формы в другую производится, используя формулы Эйлера:

e jφ = cos φ + j sin φ

e -jφ = cos φ - j sin φ

Ещё одна форма записи – тригонометрическая:

Z = Z cos φ + j Z sin φ

Формулы перевода из одной формы в другую имеют вид:

φ = arctg X/R R = Z cos φ X = Z sin φ

Z = R + jX

Аналогично в символической (комплексной) форме записывается ток и напряжение:

İ = I e jψ i , Ú = U e jψ u

Выражение для комплексов тока и напряжения обычно записываются через действующие значения, но могут быть также записаны и через амплитудные:

İ m = I m e jψ i , Ú m = U m e jψ u

Пояснения к обозначениям. Может возникать путаница при одинаковых обозначениях, например: I – «комплекс тока» и I – «действующее значение тока». То же касается Z и U. Поэтому для символического обозначения комплексного числа нужно использовать другое обозначение. Для функции времени – напряжения и тока – используется обозначение с точкой вверху. Сопротивление Z не является функцией времени, поэтому обозначать его Ż ошибочно. Для сопротивления принято для комплекса обозначение с подчёркиванием снизу: Z .

Для операций сложения (вычитания) удобна запись комплекса в алгебраической форме, для умножения (деления) – в показательной. При выполнении расчётов вручную, часто приходится преобразовывать одну форму в другую, что является довольно громоздким и трудоёмким.

Активное сопротивление в цепи переменного тока

Рисунок 2.5 - Резистор в цепи переменного тока

На рисунке 2.5 показана простейшая цепь с резисто-ром, подключённым к синусоидальному напряжению.

U R (t) = U m sin (ωt+ψ u) = i(t) R

i R (t) = U m /R sin (ωt+ψ u) = I m sin (ωt+ψ i)

I m =U m /R или, для действующих значений, I = U/R – закон Ома.

В комплексной форме закон Ома: Ú = İ Z

В данном случае - Z = R , Ú = İ R

Комплексное сопротивление в этой цепи является чисто действительным числом, мнимая часть сопротивле-ния равна нулю – Х = 0 и R называется активным сопротивлением .

Угол φ = ψ u -ψ i – называется сдвигом фаз между током и напряжением .

В цепи с активным сопротивлением R сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю:

φ = 0, ψ u = ψ i

Вектора тока и напряжения совпадают по направлению. Совпадают также формы тока и напряжения.

Глава 5 Резонанс

Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.28).

Полное сопротивление цепи:

Z = R+jX = R+j(X L -X C)

Соотношения для определения токов и напряжений уже рассмотрены неоднократно, поэтому детально приводить их не имеет смысла. Векторные диаграммы показаны на рисунках 2.29 и 2.30.

На рисунках показаны варианты при X L X C . Возможен вариант, когда X L =X C и φ = 0. Такое явление в электрической цепи, содержащей L и C, при котором сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, называется резонансом . При резонансе цепь, несмотря на наличие реактивных элементов, ведёт себя как активное сопротивление (рисунок 2.31).

Электрическая цепь, в которой возможен резонанс, называется колебательным контуром . В данном случае, при последовательном соединении, схема называется последовательным колебательным контуром резонансом напряжений .

Условие резонанса: X L =X C => ωL=1/ωC

При заданных L и C резонанс возможен на одной частоте, называемой резонансной частотой ω 0:

Свойства схемы на частоте резонанса:

Полное сопротивление Z = R;

Ток в цепи максимальный I = I max =U/I;

Реактивные сопротивления равны. Подставив из формулы частоту резонанса, получим:

ρ называется волновым или характеристическим сопротивлением ;

Напряжения на L и C равны: U L =U C = X L I = ρI

Общее напряжение цепи: U = U R = RI

Важный момент: напряжения на реактивных элементах могут быть больше общего напряжения цепи, если ρ>R.

Величина Q = ρ/R = U L /U = U C /U называется добротностью колебательного контура. Q (не путать с реактивной мощностью) показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше напряжения на резисторе;

Частотная характеристика колебательного контура показана на рисунке 2.32. С ростом частоты X L линейно возрастает, X С обратно пропорционально убывает, а Z имеет минимум на частоте резонанса ω 0 .

Зависимость тока от частоты I = f (ω) - показана на рисунке 2.33. При постоянном напряжении ток максимален на частоте ω 0 .

На рисунке 2.34 показана фазо-частотная характе-ристика – зависимость сдвига фаз между током и напря-жением от частоты φ(ω). На частоте резонанса ω 0 сдвиг фаз равен нулю. При ω < ω 0 цепь носит индуктивный характер и φ < 0, при φ > ω 0 – ёмкостной и φ > 0.

Резонанс токов

Аналогично рассмотрим цепь с параллельным соединением резистора, катушки и конденсатора (рисунок 2.35).

Как обычно, при параллельном соединении, удобно использовать проводимости, а не сопротивления.

Полная проводимость цепи:

Y = G - jB = G - j(B L -B C)

Векторные диаграммы при B C < B L и B C > B L показаны на рисунках 2.36 и 2.37.

Такая схема называется параллельным колебатель-ным контуром . Резонанс в такой цепи называется резонансом токов (рисунок 2.38).

Условие резонанса: B L = B C => 1/ωL=ωC

Формула для частоты резонанса аналогична:

Свойства схемы параллельного колебательного контура на частоте резонанса:

Полное сопротивление Z = R,

проводимость: Y = G;

Ток в цепи минимальный I = I min = UG;

Реактивные сопротивления и проводимости равны:

Токи через L и C равны: I L =I C ;

Добротность контура: Q = ρ/R = Y/G;

Полная мощность равна активной мощности:

Как видите, наблюдается полная аналогия с последовательным резонансом.

Частотные характеристики параллельного колеба-тельного контура показаны на рисунках 2.39 и 2.40. Они полностью аналогичны характеристикам последователь-ного колебательного контура, если заменить сопротивле-ния на проводимости, а ток на напряжение.

Фазо-частотная характеристика параллельного коле-бательного контура показана на рисунке 2.41.

Список использованной литературы

1 Л. А. Бессонов. Теоретические основы электротех-ники: Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 1996

2 Ф. Е. Евдокимов. Теоретические основы электро-техники. - М.: Высшая школа, 1965

3 Касаткин А. С. Курс электротехники: Учеб. Для вузов. – М.: Высшая школа, 2007

Введение

Расчёт электрических цепей является одной из основных задач при изучении электротехники, а впослед-ствии – и электроники.

Наиболее простыми и распространёнными являются линейные цепи, то есть цепи с вольт-амперной характери-стикой в виде прямой.

Сначала изучается расчёт цепей постоянного тока, затем, более сложные цепи – переменного (синусо-идального) тока.

Под переменным током обычно понимают ток синусоидальной формы. В электроснабжении, в промышленных сетях это – основной вид тока, поэтому знание законов переменного тока и расчёта цепей переменного тока является необходимым для инженера.

Расчёт электрических цепей переменного тока более сложен, чем цепей постоянного тока. В этом случае, кроме активного сопротивления, появляются реактивные элементы: катушка индуктивности и конденсатор. В параметрах тока и напряжения, кроме амплитуды в расчётах необходимо учитывать также частоту и начальную фазу. Это значительно усложняет расчёты. В расчётах используются представление синусоидальных величин в виде векторов либо в виде комплексных чисел. Рекомендация студентам: иметь для расчётов инженер-ный калькулятор.

Раздел 1 Линейные цепи постоянного тока

Глава 1 Основные понятия и законы линейных электрических цепей постоянного тока

Для анализа и расчёта реальное электромагнитное устройство с происходящими в нём процессами заме-няется некоторым расчётным эквивалентом – электриче-ской цепью.

Фактически изучаются не реальные устройства, а их эквиваленты, которые, с определённой степенью точно-сти, являются отражением их реальных свойств.

5.Основные методы анализа линейных электрических цепей.

Значительно упрощают расчет методом контурных токов , так как он позволяет сократить число уравнений.

При расчёте этим методом полагают, что в каждом независимом контуре схемы течёт свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Метод наложения : ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из Э.Д.С. схемы в отдельности. Линейная электрическая цепь описывается системой линейных уравнений Кирхгофа. Это означает, что она подчиняется принципу наложения (суперпозиции), согласно которому совместное действие всех источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого из них в отдельности.

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов . Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В том случае, когда п-1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.

6. Причины возникновения и сущность переходных процессов.

Переход из одного стационарного состояния в другое происходит не мгновенно, а с течением времени, что обусловлено наличием в цепи накопителей энергии (индуктивностей катушек и ёмкостей конденсаторов). Магнитная энергия катушек и электрическая энергия конденсаторов скачком измениться не могут, т.к. для осуществления этого необходимы источники, имеющие бесконечно большую мощность. Процессы, сопровождающие этот переход, называются переходными .

7. Анализ переходных процессов во временной области. Классический метод

Классический метод расчета переходных процессов основан на составлении и последующем решении (интегрировании) дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа и связывающих искомые токи и напряжения послекоммутационной цепи и заданные воздействующие функции (источники электрической энергии. Преобразуя систему уравнений, можно вывести итоговое дифференциальное уравнение относительно какой-либо одной переменной величины x (t ):

Здесь n – порядок дифференциального уравнения, он же – порядок цепи, коэффициенты a k > 0 и определяются параметрами пассивных элементов R , L , C цепи, а правая часть является функцией задающих воздействий.

В соответствии с классической теорией дифференциальных уравнений полное решение неоднородного дифференциального уравнения находится в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения:

Ч
астное решение полностью определяется видом правой части f (t ) дифференциального уравнения. В электротехнических задачах правая часть зависит от воздействующих источников электрической энергии, поэтому вид
обуславливается (принуждается) источниками электрической энергии и называется принужденной составляющей.

Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которые определяются коэффициентами дифференциального уравнения, и не зависит от правой части. Таким образом, любая искомая величина в переходном режиме

.

16.Активное реактивное и полное сопротивления. Треугольник сопротивлений

.

Из этого следует, что модуль комплексного сопротивления:

. (3.44)

Следовательно, z можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 3.13) – треугольника сопротивлений, один катет которого равен R, другой - х.

При этом

, (3.45)

. (3.46)

Зная
или
, можно определить угол .

Знак угла в выражениях для мгновенного значения тока определяется характером нагрузки: при индуктивном характере нагрузки (
) ток отстаёт от напряжения на угол и в выражении для мгновенного значения тока угол записывают со знаком минус, то есть ; при емкостном характере нагрузки (
) ток опережает напряжение на угол и выражение мгновенного значения тока записывают со знаком плюс, то есть .

17. Резонанс напряжений. Коэфф. Мощности. Треугольник мощностей.

Соответствует случаю, когда
(рис. 3.16). При этом
(см. подробнее раздел 3.10).

Из формулы 3.41 можно сделать вывод, что мощности P, Q, S связаны следующей зависимостью:

. (3.47)

Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного треугольника (рис. 3.17) – треугольника мощности, у которого имеются катет, равный Р, катет равный Q и гипотенуза S.

Отношение Р к S, равное
, называется коэффициентом мощности .

. (3.48)

На практике всегда стремятся увеличить
, так как реактивная мощность, которая всегда существует в цепи R, L, C, не потребляется, а используется лишь активная. Из этого можно сделать вывод, что реактивная мощность является лишней и ненужной.

21.Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи

Две катушки с сопротивлениями R 1 и R 2 , индуктивностями L 1 и L 2 и взаимной индуктивностью М соединены параллельно, причем одноимённые выводы присоединены к одному и тому же узлу (рис. 4.7).

При выбранных положительных направлениях токов и напряжения получаем следующие выражения:

; (4.11)

; (4.12)

; (4.13)

где
(4.14)

В этих уравнениях комплексные напряжения
и
взяты со знаком плюс, так как положительные направления этих напряжений (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых эти напряжения зависят, ориентированы относительно одноименных выводов одинаково. Решив уравнения, получим

; (4.15)

; (4.16)

. (4.17)

Откуда следует, что входное комплексное сопротивление рассматриваемой цепи

. (4.18)

Рассмотрим теперь включение, при котором одноименные выводы присоединены к разным узлам, т. е. L 1 и L 2 присоединены к узлу разноименными выводами. В этом случае положительные направления напряжений взаимной индукции (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых они зависят, ориентированы относительно одноименных выводов неодинаково и комплексные напряжения
и
войдут в уравнения (4.12) и (4.13) со знаком минус. Для токов
получатся выражения, аналогичные (4.15-4.17), с тем отличием, что Z М заменяется на - Z М и входное сопротивление цепи

. (4.19)

25.Определение четырёхполюсника. Основные формы записи уравнений четырёхполюсника

В ряде случаев необходимо рассматривать электрические цепи с двумя входными и двумя выходными зажимами, в которых ток и напряжение на входе связаны линейными зависимостями с напряжением и током на выходе.

Такие цепи называются четырёхполюсниками . Они могут иметь сколь угодно сложную структуру, так как в процессе исследования цепи важно определить не токи и напряжения в отдельных ветвях, а только зависимости между входными и выходными напряжениями и токами.

Иногда четырёхполюсниками называют электрические аппараты и устройства, имеющие пару входных и пару выходных зажимов. К ним, например, относятся однофазные трансформаторы, участки линии электропередачи, мостовые диодные выпрямители, сглаживающие фильтры и прочее.

Условное изображение четырехполюсника показано на рис. 7.1.

О
дну пару выводов называют входными (обозначаются
), другую - выходными (обозначаются
).

Если четырёхполюсник не содержит источников электрической энергии, то он называется пассивным , а если содержит – активным .

Примером активного четырёхполюсника может служить электронный усилитель.

На схеме активный четырёхполюсник изображается в виде прямоугольника с буквой А. Пассивный четырёхполюсник обозначается буквой П, либо вообще не обозначается.

Если у четырёхполюсника рабочими являются обе пары зажимов, то он называется проходным .

Четырёхполюсник, по сути, является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам
, как правило, подключают источник питания, к выходным зажимам
- нагрузку.

Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами на входных и выходных выводах можно записать в различной форме.

Возможны следующие шесть форм записи уравнений пассивного четырёхполюсника:

Форма А (основная):

, (7.1)

, (7.2)

где A,D – безразмерные коэффициенты;

С – [См]= [Ом -1 ]

27. Метод эквивалентного генератора

В практических расчётах часто нет необходимости знать режимы работы всех элементов сложной цепи, но ставится задача исследовать режимы работы одной определённой ветви.

При расчёте сложной электрической цепи приходится выполнять значительную вычислительную работу даже в том случае, когда требуется определить ток в одной ветви. Объём этой работы в несколько раз увеличивается, если необходимо установить изменение тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления данной ветви, так как вычисления нужно производить несколько раз, задаваясь различными значениями сопротивления.

В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от структуры и сложности, условно изобразить прямоугольником, который представляет собой так называемый двухполюсник.

Таким образом, двухполюсник - это обобщённое название схемы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выделенной ветви. Если в двухполюснике есть источник Э.Д.С. или тока, то такой двухполюсник называют активным. Если в двухполюснике нет источника Э.Д.С. или тока, то его называют пассивным.

При решении задачи методом эквивалентного генератора (активного двухполюсника) необходимо:

1 . Мысленно заключить всю схему, содержащую Э.Д.С. и сопротивления, в прямоугольник, выделив из нее ветвь аb, в которой требуется найти ток (рис 2.13).

Найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab (в режиме холостого хода).

Напряжение холостого хода Uо (эквивалентное Э.Д.С. Еэ) для рассматриваемой цепи можно найти так:
.

Сопротивление R4 в расчёт не вошло, так как при разомкнутой ветви ab ток по нему не протекает.

3. Найти эквивалентное сопротивление. При этом источники Э.Д.С. закорачиваются, а ветви, содержащие источники тока, размыкаются. Двухполюсник становится пассивным.

Д ля данной схемы

.

4. Вычислить значение тока. Для данной схемы имеем:
.

1.1.Элементы электрических цепей постоянного тока

Электромагнитные устройства с происходящими в них физическими процессами можно заменить некоторым расчетным эквивалентом – электрической цепью (ЭЦ).

Электрической цепью называют совокупность источников электрической энергии, соединенных с нагрузками. Электромагнитные процессы в ЭЦ можно описать с помощью понятий: ток – I (А), напряжение – U (В), электродвижущая сила (ЭДС) – Е (В), электрический потенциал в точке а – φ a , сопротивление – R (Ом), проводимость – g (См), индуктивность – L (Гн), емкость – С (Ф).

Постоянный ток, не изменяющийся во времени ни по величине, ни по направлению, представляет собой упорядоченное «направленное» движение электрических зарядов. Носителями зарядов в металлах являются электроны, в полупроводниках – дырки и электроны, в жидкостях – ионы, в газовом разряде – электроны и ионы. Упорядоченное движение носителей зарядов в проводнике вызывается электрическим полем, создаваемым источниками электрической энергии.

Источник энергии характеризуется величиной и направлением ЭДС и величиной внутреннего сопротивления.

На рис. 1.1а)изображена схема неразветвленной электрической цепи.

в)

а)

б)

Зависимость протекающего по сопротивлению R тока от напряжения на этом сопротивлении I=f(U), называется вольтамперной характеристикой (ВАХ). Сопротивления, ВАХ которых – прямые линии (рис.1.1.б.), называются линейными, а электрические цепи с такими сопротивлениями – линейными электрическими цепями. Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями, называют нелинейными (рис. 1.1.в.), а электрические цепи с таким сопротивлениями − нелинейными. В неразветвленной цепи через каждый участок протекает один и тот же ток. В разветвленной цепи, представленной на рис.1.2., в каждой ветви протекает свой ток.

Ветвью называется участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами, заключенными между двумя узлами а и b (рис.1.2.). Узел – это точка цепи, в которой сходится не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий нет электрического соединения, то точка не ставится.

1.2. Закон Ома для участка цепи

Напряжение U ab на участке a-b ЭЦ (рис.1.3.) понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Ток I течет от точки «а» большего потенциала к точке «b» меньшего потенциала, т.е. на величину падения напряжения на сопротивлении R

а)

Рис. 1.4.

На рис. 1.4. (а и б) показаны участки цепей с источником ЭДС, по которым протекает ток I . Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками «а» и «с» . Согласно определению в обоих случаях имеем

На рис.1.4.а) перемещение от точки «с» к точке «b» является встречным направлению ЭДС Е , поэтому на величину Е

Потенциал в точке «b» на рис. 1.4.б)оказывается выше, чем в точке с на величину ЭДС Е

Поскольку ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах а и b рис. 1.4. потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R

Таким образом, на рис. 1.4.а)

,

а на рис. 1.4.б).

, или .

Т.о., для участка цепи, содержащего источник ЭДС, можно найти ток этого участка по разности потенциалов .

Ток для схемы рис. 1.4.а) ,

для схемы рис.1.4.б) .

Полученные уравнения выражают закон Ома для участков цепи, включающих источники ЭДС, направленные по току и против тока.

1.3. Источник ЭДС и источник тока

Источник энергии в схеме рис. 1.5.а), очерченный пунктирной линией, включает источник ЭДС Е и внутреннее сопротивление r вт .

Внешняя характеристика источника напряжения (или ВАХ) в общем случае определяется как ,

где U xx − напряжение при разомкнутой цепи нагрузки. Этому выражению соответствует прямая наклонная линия на рис. 1.5.а).

а)

б)

Рис. 1. 5.

в)

б)

а)

Рис. 1.6.

Рассмотрим два крайних случая.

1) При и , получим , тогда ВАХ − прямая линия, источник ЭДС (рис. 1.6.б) представляет собой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого не зависит от величины тока.

2) Если у источника питания повышается ЭДС и внутреннее сопротивление , , то , тогда . Ток источника тока , и ВАХ примет вид, показанный на рис.1.6.в).

Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, в котором ток не зависит от сопротивления нагрузки.

При построении эквивалентных схем замещения ветви, содержащие источники напряжения, замыкают накоротко (r вт =0), а ветви с источниками тока ликвидируют (т. к. ). Ток в нагрузке для схем рис. 1.6.б)и в) одинаков;

для источника ЭДС , для источника тока .

Осуществим переход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. Пусть в схеме б) =50 А, =2 Ом, в схеме а) ЭДС =100 В. Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис.1.5.а) равны = 100 В, = 2 Ом.

Можно пользоваться любым эквивалентом, но в основном пользуются источником напряжения.

1.4. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

1.4.1.Расчет по законам Кирхгофа

Все ЭЦ подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма токов, приходящих к любому узлу схемы, равна нулю. Сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла.

Согласно 2-й формулировке .

Физически 1-й закон Кирхгофа означает, что при движении электронов по цепи ни в одном из узлов заряды не накапливаются.

Второй закон Кирхгофа так же можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма падений напряжений на резистивных элементах в любом замкнутом контуре равно алгебраической сумме ЭДС. .

В каждую из сумм составляющие слагаемые входят со знаком «+» , если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «-» , если не совпадают.

Алгебраическая сумма напряжений участков вдоль любого замкнутого контура равна нулю ,

где m – число участков контура, так, для периферийного контура схемы рис.1.8. имеем .

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменений токов и напряжений во времени.

При составлении уравнений для расчетов токов в ветвях схемы с помощью законов Кирхгофа учитываем, что в каждой ветви течет свой ток.

Рис. 1.8.

Обозначим число всех ветвей схемы через «б» , число ветвей, содержащих источники тока, через «б ист.т » , и число узлов – через «у». Так как токи в ветвях с источниками тока неизвестны, то число неизвестных токов запишем как «б» - «б ист.т » .

Перед тем как составить уравнения, необходимо а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) выбрать положительные направления контуров для составления уравнений по 2-ому закону Кирхгофа.

Желательно во всех контурах положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке, как показано на рис. 1.9.

Чтобы получить независимые уравнения, по 1-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. «у-1» . По 2-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока б - б ист.т , за вычетом числа уравнений, составленных по 1- му закону Кирхгофа. В рассмотренном (б - б ист.т)-(у -1) = 3 – 2 + 1 = 2.

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в контуры, для которых уже записаны уравнения. Такие контуры условно можно назвать независимыми.

По 1- ому закону Кирхгофа составляем одно уравнение .

По 2-ому закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контура , знак «+» взят перед , потому что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак «-» перед показывает, что направление встречно обходу контура.

Для контура .

Используя законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число уравнений, путем совместного решения которых можно найти все определяемые величины (например, токи), а также установить зависимости между ними.

1.4.2. Преобразование ЭЦ с различным соединением сопротивлений

1. Последовательным соединением сопротивлений называется такое, когда конец первого сопротивления соединяется с началом второго, конец второго сопротивления с началом третьего и т.д. Начало первого сопротивления и конец последнего подключаются к источнику питания или к каким-либо точкам ЭЦ (рис. 1. 9.). Во всех сопротивлениях протекает один и

Рис. 1.9.

тот же ток.

	Рис. 1. 9.

Ток в цепи, напряжения на сопротивлениях и потребляемые ими мощности определяются следующими соотношениями.

1. Эквивалентное сопротивление электрической цепи .

2. Ток в сопротивлениях цепи .

3. Напряжение и мощность, подводимые к электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений равны, соответственно, сумме напряжений и мощностей ,

4. Напряжение и мощности распределяются пропорционально сопротивлениям .

2. При параллельном соединении сопротивлений соединяются между собой как начало всех сопротивлений, так и их концы (рис. 1.10.).

Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение на зажимах всех сопротивлений. Параллельно соединяются обычно различные приемники электрической энергии, рассчитанные на одно и то же напряжение. При параллельном соединении не требуется согласовывать номинальные данные приемников, возможно включение и отключение любых приемников независимо от остальных, а при выходе из строя любого из них остальные остаются включенными.

б)

а)

Рис. 1. 10.

Параллельное соединение можно применить, если требуется уменьшить сопротивления какого-либо участка электрической цепи, как показано на рис. 1.10.б).

Токи и мощности параллельно соединенных ветвей рис.1.10.а) при не зависят друг от друга.

1. Общий ток равен сумме токов параллельно соединенных ветвей

где: − эквивалентная проводимость, равная

− эквивалентное сопротивление, .

2. Токи и мощности в ветвях в ветвях вычисляются по формулам ; ; ; .

3. Отношение токов и мощностей равно отношению проводимостей и обратно пропорционально отношению сопротивлений

.

При увеличении параллельно соединенных сопротивлений эквивалентная проводимость ЭЦ увеличивается, а эквивалентное сопротивление уменьшается, что приводит к увеличению тока. Если напряжение остается const , то увеличивается также общая мощность.

3. Смешанным или последовательно-параллельным называется такое соединение сопротивлений, при котором на одних участках ЭЦ сопротивления соединены параллельно, а на других последовательно.

Анализ и расчет ЭЦ со смешанным соединением сопротивлений производится методом преобразований. Электрическая цепь (рис. 1.11.а) заменяется последовательно эквивалентными цепями до образования схемы, изображенной на рис. 1.11.б).

б)

а)

Рис. 1.11.

В соединении «треугольником» конец одного из сопротивлений соединяется с началом следующего и т.д., а узлы a,b,c подключаются к остальной части ЭЦ. В соединении «звездой» все концы соединяются вместе, а начала фаз подключаются к схеме. Если заменить сопротивление , , , соединенные в треугольник, эквивалентными сопротивлениями, соединенными звездой, то получим цепи со смешанным соединением сопротивлений.

Преобразование «звезды» в «треугольник»

б)

а)

	Рис. 1. 12.

После замены токи и направления должны остаться без изменений.

Для «треугольника» ;

Для соединения звездой

По условию эквивалентности эквивалентные сопротивление обеих схем равны , следовательно, можно записать

1) ;

Структуры соединением «треугольник» и «звезда» по отношению к узлам симметричны, поэтому циклично запишем

2) ;

3) .

Сложим 1) и 3), вычтем 2), всё поделим на 2, получим

, , .

Если в «треугольнике» равны, то и в «звезде» равны: .

Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник. Для этого надо попарно перемножить 1) и 3) и сложить, затем вынести общий множитель и полученное уравнение разделить на 3)уравнение, т.е. . Далее поочередно поделить то же уравнение на и .

Путем циклической подстановки индексов при преобразовании звезды в треугольник получим

, , .

На рис. 1.13. поясняется упрощение схемы путем последовательной замены эквивалентными цепями при преобразовании «треугольника» в «звезду».

Рис. 1.14

В схеме рис. 1.14.два независимых контура. Допустим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток , в правом – контурный ток . Для каждого из контуров составим уравнение по II закону Кирхгофа.

Для первого контура , или

Для второго контура , или

В уравнении для 1-го контура множитель при токе , являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через . Множитель при токе , взятый со знаком «-» , обозначим через . Уравнения для 1-го и 2-го контуров примут вид , , здесь

; ;

где − полное или собственное сопротивление первого и второго контуров, соответственно.

− взаимное сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятые со знаком «-» .

− контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС, входящих в эти контуры.

Со знаком «+» входят ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода контура.

Отметим, что члены, содержащие полные контурные сопротивления, положительны, а взаимные – отрицательны.

Если в схеме будет три контура, то система уравнений примет вид

Или в матричной форме

, , .

Если в электрической цепи имеется «n» независимых контуров, то количество уравнений тоже равно n . Решение удобно проверить методами Крамера и Гаусса.

Общее решение системы n уравнений относительного тока

где и − определители системы.

По найденным токам ищем действительные токи ; ; ; ; , находим из 1-го закона Кирхгофа.

1.4.4. Метод узловых потенциалов.

б)

Рис. 1. 15.

По 1-му закону Кирхгофа для 1-го узла

, ;

или через проводимости

для 2-го узла

, ,

1) Узловая проводимость узла − это сумма проводимости ветвей, сходящихся в данном узле.

; ; .

2) Взаимная проводимость двух любых узлов − сумма проводимости ветвей, включённых между этими узлами.

3) Узловой ток − сумма произведений ЭДС на проводимости () ветвей, сходящихся в данном узле. Если ЭДС направлена к узлу, то берем ее как «+»; от узла «−».

; ; .

4) В системе уравнений все члены, содержащие узловые проводимости берутся со знаком «+», а содержащие взаимные проводимости − со знаком «-».

Решив систему уравнений, найдем потенциалы всех узлов. По этим потенциалам определяем токи ветви ,

если ток получился со знаком «-», значит в действительности он направлен в противоположную сторону.

; ; ; ; .