Радиусом инерции твердого тела называют. Основные законы и формулы по теоретической механике. Решение примеров. Момент импульса тела относительно оси вращения

1. Закон инерции : изолированная материальная точка неспособна вывести себя из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения без воздействия внешних сил или полей;

2. Основной закон динамики : сила, действующая на тело, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и совпадает с ней по направлению: , масса - мера инертности точки: .

3. Закон равенства действия и противодействия ;

4. Закон про равнодействующую силу : несколько одновременно действующих на точку сил сообщают ей такое ускорение, какое сообщает ей одна сила, равная их геометрической сумме: .

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах.

Метод кинетостатики : если к движущейся под действием сил точке приложить силу инерции, то геометрическая сумма всех сил будет равна нулю: , где Ф - сила инерции.

Так как: , то проектируя на ось координат получаю:, так как: то аналогично для y и z получаю:

Основные задачи динамики точки.

1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.

2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу и начальные условия движения определить траекторию.

Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха.

v 0 =0; ; ;. По начальным условиям: и определяю постоянные интегрирования и: .

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха.

;; , постоянные интегрирования определяются по заданным начальным условиям.

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, если сила зависит от времени.

Зависимость силы от времени возможна степенная и тригонометрическая.

Связи и реакции связей.

Несвободная материальная точка - на движение наложены кинематические ограничения. Связи - тела, ограничивающие свободу движения материальной точки. Динамические реакции связи - силы, с которыми связи действуют на движущуюся материальную точку.

Классификация связей :

1. стационарные - уравнения которых не содержат t в явном виде и нестационарные.

2. голономные - ограничивающие только свободу перемещения, а не скорость и неголономные.

3. неудерживающие - препятствующие движению в одном направлении и допускающие в противоположном и удерживающие.

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

Подставляя в основное уравнение динамики: , обозначая переносную и кориолисову силы инерции: . В проекциях на координатные оси:

Координаты центра масс системы материальных точек.

Механическая система материальных точек - совокупность точек, в которой положение и движение каждой зависит от остальных. Система с кинематическими ограничениями - несвободная. Масса механической системы - арифметическая сумма масс всех ее точек. Центр масс - геометрическая точка, положение которой определяется уравнениями:

Силы, действующие на точки механической системы.

Задаваемые силы и реакции связи;

Внешние силы - силы, с которыми на механическую систему действуют другие тела, не входящие в нее.

Внутренние силы - силы взаимодействия точек системы.

Свойства внутренних сил:

1. главный вектор внутренних сил равен нулю;

2. главный вектор момент внутренних сил относительно любого неподвижного центра равен нулю.

Моменты инерции твердого тела. Радиус инерции.

Момент инерции - скалярная величина, равная произведению массы на квадрат расстояния.

Планарный момент инерции - момент инерции относительно плоскости: ; осевой - относительно оси: ; полярный - относительно полюса: ; центробежный момент инерции : .

Радиус инерции - расстояние от оси до воображаемой точки, в которой необходимо сосредоточить массу тела, чтоб момент инерции этой точки относительно заданной оси был равен моменту инерции данного тела относительно этой же оси: .

Совокупность материальных точек или тел, когда положение или движение каждой точки зависит от положения или движения остальных, называется механической системой .

Внешними называются силы, действующие на части (точки) системы со стороны точек или тел не входящих в систему. Обозначаются как .

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек этой же системы. Обозначаются они как .

Внешние и внутренние силы могут быть активными или реакциями связей, разделение сил на внешние и внутренние условно и зависит от конкретной задачи.

Свойства внутренних сил:

1. Главный вектор всех внутренних сил системы равняется нулю.

2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю:

Первое свойство основано на пятой аксиоме статики, то есть каждой внутренней силе соответствует другая внутренняя сила, равная ей по величине и противоположно направленная.

Второе свойство внешне похоже на условия равновесия, хотя таковым не является, так как внутренние силы прилагаются к разным точка системы и могут вызвать относительные перемещения.

Движение системы зависит от ее суммарной массы и ее распределения. Каждый точка системы с массой может быть охарактеризована своим радиус-вектором .

Центром масс системы называется точка С радиус-вектор которой определяется по формуле:

где , масса системы равная арифметической сумме масс всех точек системы.

О распределении масс можно судить по положению центра тяжести. Подставляя в формулы координат центра тяжести (7.2.2) ; Р = Мg, получаем

Положение центра масс системы (или центра инерции) в каждый момент времени зависит только от положения и массы каждой точки системы.

Центр масс системы совпадает с их центром тяжести. Понятие центр тяжести применимо к твердым телам, а понятие центр масс - к любым системам точек или тел.

Так как положение центра масс системы характеризует распределение масс не полностью, то вводят еще одну величину - момент инерции .

Моментом инерции системы (тела) относительно оси (осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек (тел) системы на квадраты их расстояний от этой оси.

Пусть это будет ось Oz. Тогда

Осевой момент является мерой инертности системы точек (тел) при вращательном движении, размерность: в системе единиц СИ - .

В выражении через координаты осевой момент инерции J относительно осей запишется:

Радиусом инерции тела относительно оси (Oz), называется линейная величина , определяемая зависимостью

где М - масса тела, - расстояние от оси Oz до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу М тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела.

Моменты инерции относительно осей (15.3.1), зависят от выбора этих осей и относительно этих осей разные.

Гюйгенс показал, что, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, можно найти его относительно любой другой оси, ей параллельной (рис. 75 )

Проведем через центр масс С тела оси Cx"y"z", а через точку О - xyz параллельные между собой.

Обозначим расстояние ОС через d. Тогда:

В правой части уравнения (15.3.6) первая сумма является соотношением (15.3.5). вторая сумма - это масса тела М. Так как точка С является центром масс, то из уравнения (15.2.2) получаем

но точка С одновременно является и началом координат, где = 0, то есть третья сумма равна нулю. Итак

Это аналитическое выражение теоремы Гюйгенса: Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной, проходящей через центр масс тела сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Физическую величину, являющуюся мерой инертности тела, вращающегося вокруг оси называют моментом инерции тела (J) .

Это скалярная (в общем случае тензорная) величина.

где - массы материальных точек, на которые разбивают тело; на квадраты расстояний от материальной точки до оси вращения.

Для непрерывного однородного тела, вращающегося около оси, момент инерции чаще определяют как:

где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.

Тензор инерции

Совокупность величин:

называют тензором инерции. Диагональные элементы тензора: . Тензор инерции является симметричным.

Пусть все недиагональные элементы тензора равны нулю, не равны нулю только диагональные составляющие. Тогда тензор запишем как:

В таком случае оси тела совпадают с осями координат и являются главными осями инерции. Величины:

называют главными моментами инерции. Тензор в виде (4) приведен у диагональному виду. Моменты инерции, находящиеся вне главной диагонали матрицы (3) называются центробежными. Если оси системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции равны нулю.

Если главные оси проведены через центр масс тела, то они называются центральными главными осями, а тензор центральным тензором.

Главные оси не всегда для тела не всегда легко отыскать. Но иногда достаточно использовать соображения симметрии. Так, в шаре относительно любой точки главные оси можно найти так. Одна из главных осей проходит через центр шара, две другие ориентированы произвольно в плоскости, которая перпендикулярна первой оси.

Составляющие момента инерции сплошного тела относительно осей декартовой системы координат определены как:

где - координаты элемента массы тела (), которая обладает объемом .

Момент инерции твердого тела зависит от формы тела и распределения ассы в теле относительно оси вращения.

Величины, равные:

называют радиусами инерции тела по отношению к соответствующим осям системы координат.

Теорема Штейнера

В некоторых случаях вычисление момента инерции существенно облегчает знание теоремы Штейнера (иногда ее называют теоремой Гюйгенса): Момент инерции тела (J) относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, которая проведена через центр масс рассматриваемого тела (), плюс произведение массы тела (m) на расстояние между осями в квадрате, при условии, если оси параллельны:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений массы точек тела m i , на квадраты их расстояний r i до точки, оси или плоскости:

Момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела во вращательном движении вокруг этой оси.

Момент инерции тела может быть также выражен через массу М тела и его радиус инерции r:

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ, ПЛОСКОСТЕЙ И НАЧАЛА ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.

Момент инерции относительно начала координат (полярный момент инерции):

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСЕВЫМИ, ПЛОСКОСТНЫМИ И ПОЛЯРНЫМ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ:

Значения осевых моментов инерции некоторых геометрических тел приведены в табл. 1.

Таблица 1. Момент инерции некоторых тел

ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕНЕ ОСЕЙ

Момент инерции I u 1 относительно оси u 1 , параллельной данной оси u (рис. 1):

где I u - момент инерции тела относительно оси u; l(l 1) - расстояние от оси u (от оси u 1) до параллельной им оси u с, проходящей через центр масс тела; а - расстояние между осями u и u 1 .

Рисунок 1.

Если ось u центральная (l=0), то

т. е. для любой группы параллельных осей момент инерции относительно центральной оси наименьший.

Момент инерции I u относительно оси u, составляющей углы α, β, γ с осями декартовых координат х, у, z (рис. 2):

Рисунок 2.

Оси х, у, z главные, если

Момент инерции относительно оси u, составляющей углы α, β, γ c главными осями инерции х, у, z:

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ:

где - центробежный момент инерции относительно центральных осей х с, y с, параллельных осям х, у; М - масса тела; x с, y с - координаты центра масс в системе осей х, у.

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ x, y ВОКРУГ ОСИ z НА УГОЛ α В ПОЛОЖЕНИЕ x 1 y 1 (рис. 3):

Рисунок 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ. Ось материальной симметрии тела - главная ось инерции тела.

Если плоскость xОz является плоскостью материальной симметрии тела, то любая из осей y - главная ось инерции тела.

Если положение одной из главных осей z гл известно, то положение двух других осей x гл и y гл определяется поворотом осей х и у вокруг оси z гл на угол φ (рис. 3):

ЭЛЛИПСОИД И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ИНЕРЦИИ. Эллипсоидом инерции называется эллипсоид, оси симметрии которого совпадают с главными центральными осями тела x гл, y гл, z гл, а полуоси а х, а у, а z равны соответственно:

где r уО z , r х Oz , r xOy - радиусы инерции тела относительно главных плоскостей инерции.

Параллелепипедом инерции называется параллелепипед, описанный вокруг эллипсоида инерции и имеющий с ним общие оси симметрии (рис. 4).

Рисунок 4.

РЕДУЦИРОВАНИЕ (ЗАМЕНА С ЦЕЛЬЮ УПРОЩЕНИЯ РАСЧЕТА) ТВЕРДОГО ТЕЛА СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ . При вычислении осевых, плоскостных, центробежных и полярных моментов инерции тело массой М можно редуцировать восемью сосредоточенными массами М/8, расположенными в вершинах параллелепипеда инерции. Моменты инерции относительно любых осей, плоскостей, полюсов вычисляются по координатам вершин параллелепипеда инерции x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) по формулам:

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

1. Определение моментов инерции тел вращения с использованием дифференциального уравнения вращения - см. формулы ("Вращательное движение твердого тела") .

Исследуемое тело закрепляется на горизонтальной оси х, совпадающей с его осью симметрии, и приводится во вращение вокруг нее с помощью груза Р, прикрепленного к гибкой нити, навернутой на исследуемое тело (рис. 5), при этом замеряется время t опускания груза на высоту h. Для исключения влияния трения в точках закрепления тела на оси х опыт производится несколько раз при разных значениях веса груза Р.

Рисунок 5.

При двух опытах с грузами Р 1 и Р 2

2. Экспериментальное определение моментов инерции тел посредством изучения колебаний физического маятника (см. 2.8.3) .

Исследуемое тело закрепляют на горизонтальной оси х (нецентральной) и замеряют, период малых колебаний около этой оси Т. Момент инерции относительно оси х определится по формуле

где Р - вес тела; l 0 - расстояние от оси вращения до центра масс С тела.

В механике под твердым телом понимают систему материальных точек, расстояние между любыми двумя точками которого в процессе движения остается неизменным. Поэтому все результаты, полученные в предыдущих темах (“Динамика материальной точки”, “Закон сохранения импульса”, “Закон сохранения энергии” и “Закон сохранения момента импульса”) для системы материальных точек, применимы и к твердому телу.

Момент инерции твердого тела

Момент инерции – это величина, зависящая от распределения масс в теле и являющаяся, наряду с массой, мерой инертности тела при непоступательном движении. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси момент инерции тела относительно этой оси определяется выражением

где- элементарные массы тела;- их расстояния от оси вращения.

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла

, (1)

где
– масса элемента тела, находящегося на расстоянииот интересующей нас оси. Интегрирование должно производиться по всему объему тела.

Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы.

Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси, можно найти момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной. Используя теорему Штейнера, согласно которой момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс телаи параллельной данной оси, и произведения массы телат на квадрат расстояния между осями :

(2)

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительномомент инерции относительно точки . Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений.

Рассмотрим некоторую точку твердого тела массой и с координатами
относительно прямоугольной системы координат (рис. 1). Квадраты расстояний ее до координатных осей
равны соответственно


а моменты инерции относительно тех же осей

(3)

Сложив эти равенства и просуммировав по всему объему тела

(5)

где
– момент инерции телаотносительно точки.

Из этого выражения можно получить связь между моментами инерции плоского тела, относительно осей
. Пусть масса плоского тела сосредоточена в плоскости
т.е. координаталюбой точки такого тел равна нулю, тогда из

уравнений (3) и (4) следует, что

(6)

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело массой , вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью. Для того чтобы получить уравнение, описывающее это движение, применим уравнение моментов относительно оси, полученное в разделе “ Закон сохранения момента импульса”

, (7)

напомним, что в этом уравнении и
– момент импульса и момент силы относительно оси, вокруг которой вращается твердое тело.

Момент импульса некоторой точки тела массой
вращающейся по окружности радиусасо скоростью, равен

Просуммировав по всему объему тела, учитывая, что
получим

Таким образом, момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на его угловую скорость.

Подставляя полученное выражение в (7), получим уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

или
(8)

где – угловое ускорение тела.

Найдем кинетическую энергию вращающегося тела. Для этого просуммируем по всему объему тела кинетические энергии отдельных его частей

(9)

Зная зависимость момента сил, действующих на тело, от угла поворота, можно найти работу этих сил при повороте тела на конечный угол

.